Question

如圖，I為△ABC的內(nèi)心，AI交△ABC的外接圓O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)P，連接BD、BI、CI，則下列結(jié)論：
①DI=DB；②DB²=DP•DA；③AB•AC=PA•PD；④∠BIC=90°+∠BOC．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)I為△ABC的內(nèi)心，得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，則=，根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得出∠CAD=∠CBD，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠DBI=∠DIB，則DI=DB；可證明△DBP∽△DAB，即可得出DB ²=DP•DA；可證明∠BIC=90°+∠BAC．從而得出∠BIC=90°+∠BOC．
解答：解：∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴=，
∴∠CAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBP+∠PBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DI=DB，故①正確；
∵△DBP∽△DAB，
∴=，
即DB²=DP•DA，故②正確；
根據(jù)相交弦定理，得PB•PC=PA•PD，而△ABP與△ACP一定不相似，
∴AB•AC=PA•PD不成立，故③不正確；
∵∠BIC=90°+∠BAC，∠BOC=2∠BAC，
∴∠BIC=90°+∠BOC．故④正確．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．