Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）點P是x軸上的一動點，當PA+PB最小時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（1，4）代入y= ，得：m=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

（2）解：把B（4，n）代入y= ，得：n=1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，得： ，

解得： ，

∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+5

（3）解：作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

設直線AB′的解析式為y=mx+n，

∴ ，解得 ，

∴直線AB′的解析式為y=﹣ x+ ，

令y=0，得﹣ x+ =0，

解得x= ，

∴點P的坐標為（ ，0）．

【解析】（1）將點A（1，4）代入反比例函數(shù)解析式可得其解析式；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點B坐標，再由A、B坐標可得直線解析式；（3）作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，根據(jù)B的坐標求得B′的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式，進而求得與x軸的交點即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關知識，掌握已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．