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11.如圖,有一塊邊長(zhǎng)為a的正三角形紙板,在它的三個(gè)角處分別截去一個(gè)彼此全等的箏行,再沿圖中虛線(xiàn)折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的直三棱柱紙盒,若該紙盒側(cè)面積的最大值是938cm2,則a的值為3cm.

分析 如圖,由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠A=∠B=∠C=60°,由三個(gè)箏形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK,根據(jù)折疊后是一個(gè)三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK,四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO為矩形,且全等.連結(jié)AO證明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°,設(shè)OD=x,則AO=2x,由勾股定理就可以求出AD=3x,由矩形的面積公式就可以表示紙盒的側(cè)面積,由二次函數(shù)的性質(zhì)得到其最大值的代數(shù)式,根據(jù)題意列方程,解方程即可.

解答 解:如圖,

∵△ABC為等邊三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH,
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK.
∵折疊后是一個(gè)三棱柱,
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK,四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形.
∴∠ADO=∠AKO=90°.
連結(jié)AO,
在Rt△AOD和Rt△AOK中,
{AO=AOOD=OK,
∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL).
∴∠OAD=∠OAK=30°.
設(shè)OD=x,則AO=2x,由勾股定理就可以求出AD=3x,
∴DE=a-23x,
∴紙盒側(cè)面積=3x(a-23x)=-63x2+3ax=-63(x-312a2+33a224,
∵該紙盒側(cè)面積的最大值是938cm2,
33a224=938,解得:a=3,或a=-3(舍去);
故答案為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,矩形的面積公式的運(yùn)用,二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)表示出紙盒的側(cè)面積是關(guān)鍵.

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