Question

如圖，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，連接OA，交⊙O于點D，過D點作⊙O的切線交AC于點E，連接B、D并延長交AC于點F．則下列結論錯誤的是

1. A.
   △ADE∽△ACO
2. B.
   △AOC∽△BFC
3. C.
   △DEF∽△DOC
4. D.
   CD²=DF•DB

Answer 1

B
分析：根據相似三角形的判定定理，對各選項的三角形進行分析證明，然后利用排除法求解．
解答：解：A、∵DE是⊙O的切線，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠DAE=∠CAO，
∴△ADE∽△ACO；
故本選項正確；
B、假設△AOC∽△BFC，
則有∠OAC=∠FBC，
∵∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，
∴AC是⊙O的切線，
∴∠ACD=∠FBC，
∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∴∠ODC=∠COD，
∴OC=CD，
又∵OD=OC，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等邊三角形，∠AOC=60°，
∴AC=OC①，
而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，
∴AC=2OC②，
∴假設與題目條件相矛盾，
故假設不成立，所以△AOC與△BFC不相似；
故本選項錯誤；
C、∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BFC=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠BFC，
∵DE是⊙O的切線，AC是⊙O的切線，
∴∠CDE=∠CED=∠CBD，
又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，
∠COD=2∠CBD，
∴∠AED=∠COD，
在△DEF∽△DOC中，，
∴△DEF∽△DOC，
故本選項正確；
D、∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥BF，
∵∠ACB=90°，
∴CD²=DF•DB，
故本選項正確．
故選B．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定，圓周角定理以及切線的性質，本題利用反證法，先假設成立，再推出矛盾，從而推翻假設，題目綜合性較強，難度較大．