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如圖,經過原點的拋物線y=-x2+2mx(m〉0)與x軸的另一個交點為A.過點P(1,m)作直線PM⊥x軸于點M,交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C(B、C不重合).連結CB,CP.

(1)當m=3時,求點A的坐標及BC的長;

(2)當m>1時,連結CA,問m為何值時CA⊥CP?

(3)過點P作PE⊥PC且PE=PC,問是否存在m,使得點E落在坐標軸上?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對應的點E坐標;若不存在,請說明理由.

(1)當m=3時,y=-x2+6x

令y=0 得:-x2+6x=0,∴x1=0,x2=6,∴A(6,0).

當x=1時,y=5,∴B(1,5)

∵拋物線y=-x2+6x的對稱軸為直線x=3,B、C關于對稱軸x=3對稱,∴BC=4.

(2)過點C作CH⊥x軸于點H(如圖1)








由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB,


∵拋物線y=-x2+2mx的對稱軸為直線x=m,其中m>1,B、C關于對稱軸對稱,
∴BC=2(m-1),
∵B(1,2m-1),P(1,m),
∴BP=m-1,
又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),
∴H(2m-1,0)
∴AH=1,CH=2m-1,


m=

(3)∵B、C不重合,∴m≠1,
(I)當m>1時,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1,
(i)若點E在x軸上(如圖1),
∵∠CPE=90°,
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,
∴∠BPC=∠MEP.
∵PC=EP,∠CBP=∠PME=90°,
∴△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,
∴2(m-1)=m,
∴m=2,ME=BP=m-1=1,此時點E的坐標是(2,0);

(ii)若點E在y軸上(如圖2),過點P作PN⊥y軸于點N,
易證△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,
∴m-1=1,
∴m=2,NE=BC=2(m-1)=2,ON=m=2,OE=4,
此時點E的坐標是(0,4);

(II)當0<m<1時,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,
(i)若點E在x軸上(如圖3),

易證△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,

易證△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,
∴2(1-m)=m,

∴m=,ME=BP=1-m=,

此時點E的坐標是(,0)

(ii)若點E在y軸上(如圖4),過點P作PN⊥y軸于點N,
易證△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,
∴1-m=1,
∴m=0(舍去)

綜上所述,當m=2時,點E的坐標是(0,2)或(0,4),當m=時,點E的坐標是(,0).


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120
(x-30)2+5

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2
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A13?????? B14? ???? C15?????? D16

 

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A.16
B.15
C.14
D.13

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