半徑為2.5的圓Ｏ中，直徑AB的不同側有定點C和動點P，已知BC:CA=4:3，點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．

（1）當點P運動到與點C關于直徑AB對稱時，求CQ的長；

 


（2）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值，并求出此時CQ的長．

 

解：（1）當點運動到與點關于直徑對稱時，如圖所示，此時于，

又為的直徑，

　　．

　　，

　　．

　　又，

　　．………………

　　在和中，

　　，

　　，

　　．

 

（2）因為點在弧上運動過程中，有，

　　所以最大時，取到最大值．

　　當過圓心，即取最大值5時，最大，最大為．

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已知，紙片⊙Ｏ的半徑為2 ，如圖1. 沿著弦AB 折疊操作。
（1）如圖2 ，當折疊后的經過圓心Ｏ時，求的長度；
（2）如圖3，當弦AB＝2時，求折疊后⊙O所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（3）在如圖1中，將紙片⊙O沿著弦CD折疊操作：    
①如圖4，當AB∥CE時，折疊后的和所在圓外切與點P時，設點O到弦CD，AB的距離之和為d，試求d的值；  
②如圖5，當AB與CD不平行時，折疊后的和所在圓外切與點P，點M，N分別為AB，CD的中點試探究四邊形OMPN的形狀，并證明。

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