Question

22、如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD的長．
小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-4）²+（x-6）²=10²，求出AD=x=12．

解答：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴四邊形AEGF是正方形．

（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x．
∵BD=4，DC=6
∴BE=4，CF=6
∴BG=x-4，CG=x-6
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
化簡得，x²-10x-24=0
解得x₁=12，x₂=-2（舍去）
所以AD=x=12．

點評：本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關于x的方程模型的解題思想．要能靈活運用．