Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），作EF⊥AC交邊BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF、BE交于點(diǎn)G．
（1）求證：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FEC=90°=∠ABC，

又∵∠FCE=∠ACB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

又∵∠ACF=∠BCE，

∴△CAF∽△CBE

（2）∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF=∠CBE，

∵∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BAF=∠BEF，

設(shè)EC=1，則EF=1，F(xiàn)C= ，

∵AE：EC=2：1，

∴AC=3，

∴AB=BC= AC= ，

∴BF=BC﹣FC= ，

∴

【解析】（1）利用AA證明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS證明△CAF∽△CBE（2）證出∴∠BAF=∠BEF，設(shè)EC=1，則EF=1，F(xiàn)C= ，AC=3，由勾股定理得出AB=BC= AC= ，得出BF=BC﹣FC= ，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．