Question

如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，BE的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F
（1）寫出圖中的所有相似三角形；
（2）若BE平分∠ABC，
①當(dāng)CD=1，AB=2，AE=

1

2

AD時(shí)，求出BC的長(zhǎng)；
②當(dāng)CD=a，AB=b，AE=

1

n

AD時(shí)，求出BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由線段AB∥CD，根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，即可證得△ABE∽△DFE，△ABK∽△DCK；
（2）由線段AB∥CD，BE平分∠ABC，易證得△BCF是等腰三角形，即BC=CF，又由△ABK∽△DCK，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

AE

DE

=

AB

DF

；
①由AE=

1

2

AD，可得DF=AB=2，繼而求得答案；
②由AE=

1

n

AD，可得DF=（n-1）AB=（n-1）b，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，△ABK∽△DCK；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠F，
∴∠F=∠CBF，
∴BC=CF，
∵△ABK∽△DCK
∴

AE

DE

=

AB

DF

，
①∵AE=

1

2

AD，
∴AE=DE，
∴AB=DF=2，
∴BC=CF=DF-CD=2-1=1；
②∵AE=

1

n

AD，
∴

AE

DE

=

1

n-1

，
∴DF=（n-1））AB=（n-1）b，
∴BC=CF=DF-CD=（n-1）b-a．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．