Question

(1)對(duì)于任意給定的一個(gè)矩形C,是否存在另一個(gè)矩形,使它的周長(zhǎng)和面積都是矩形C的2倍?請(qǐng)說明你理由。(3分)

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m是什么值時(shí),對(duì)于任何一個(gè)矩形C,都存在另一個(gè)矩形,它的周長(zhǎng)與面積都是矩形C的m倍?證明你的結(jié)論。(7分)

 

Answer 1

【答案】

（1）理由見解析(2) 當(dāng)m≥1時(shí),所有的矩形都有周長(zhǎng)與面積都是已知矩形的m倍的矩形，證明見解析

【解析】（1）設(shè)已知矩形的長(zhǎng)與寬分別為a,b,所求矩形為x,y.

則 ∴x,y是方程t²－2(a+b)t+2ab=0的兩根

∵⊿=4(a+b)²－8ab=4(a²+b²)＞0,  ∴方程有解

∴對(duì)于長(zhǎng)與寬分別為a,b矩形,存在周長(zhǎng)與面積都是已知矩形的2倍的矩形。(3分)

(2)設(shè)已知矩形的長(zhǎng)與寬分別為a,b,所求矩形為x,y.

則 ∴x,y是方程t²－m(a+b)t+mab=0的兩根

當(dāng)⊿=m²(a+b)²－4mab＞0,即時(shí),方程有解

∴對(duì)于長(zhǎng)與寬分別為a,b矩形, 當(dāng)時(shí),存在周長(zhǎng)與面積都是已知矩形的m倍的矩形     (7分)

∵(a－b)²≥0, ∴a²+b²≥2ab   ∴a²+b²+2ab≥4ab  即(a+b)²≥4ab,,

∴的最大值為1  (9分)

∴當(dāng)m≥1時(shí),所有的矩形都有周長(zhǎng)與面積都是已知矩形的m倍的矩形。

本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用；（1）由題意可知：分別設(shè)出已知矩形和所求矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)周長(zhǎng)和面積的關(guān)系可以列出兩個(gè)關(guān)系式，觀察兩個(gè)關(guān)系式可得一個(gè)根為xy的一元二次方程，再根據(jù)判別式可以確定方程是否有解，進(jìn)而確定所求矩形是否存在；（2）方法與（1）一樣．