如圖，已知：在⊙O中，直徑AB=4,點E是OA上任意一點，過E作弦CD⊥AB,點F是弧BC上一點，連結AF交CE于H,連結AC、CF、BD、OD。

（1）求證：⊿ACH∽⊿AFC；

（2）猜想：AH·AF與AE·AB的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

（3）探究：當點E位于何處時，S⊿AEC:S⊿BOD=1：4？并加以說明。

 


（1）證明：∵直徑AB⊥CD     ∴

∴ ∠F=∠ACH ,    又∠CAF=∠FAC

∴ ⊿ACH∽⊿AFC；

(2)答：AH·AF=AE·AB

連結FB

∵AB是直徑    ∴ ∠AFB=∠AEH=900

又 ∠EAH=∠FAB

∴Rt⊿AEH∽Rt⊿AFB

∴    ∴AH·AF=AE·AB

(3)當OE=(或AE=)時，S⊿AEC:S⊿BOD=1：4

∵直徑AB⊥CD,    ∴CE=ED

∵ S⊿AEC=AE·EC       S⊿BOD=OB·ED     ∴

∵⊙O的半徑為2，∴

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4
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6
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．

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2
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