Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AD的中點，BC=5，AD=12，梯形高為4，∠A=45°，P為AD邊上的動點．

（1）當PA的值為

4或9

時，以點P、B、C、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（2）當PA的值為

1或11

時，以點P、B、C、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）點P在AD邊上運動的過程中，以P、B、C、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？如果能，求出PA長；如果不能，也請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過判斷出△ABF是等腰直角三角形，然后求出AF，再分PB、PC是直角腰長兩種情況求解；
（2）先根據(jù)中點定義求出AE的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出PE的長度，然后根據(jù)點P在點E的左邊與右邊兩種情況討論求解即可；
（3）根據(jù)有鄰邊相等的平行四邊形是菱形，點P在點E的左邊時，求出先求出FP，再根據(jù)勾股定理求出PB，點P在點E的右邊時，根據(jù)勾股定理求出BE，如果等于BC，則能，否則不能．

解答：解：（1）如圖，過點B作BF⊥AD于F，
∵∠A=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
又∵梯形高為4，
∴AF=BF=4，
∴PB是直角梯形的直角腰時，PA=AF=4，
PC是直角梯形的直角腰時，PA=AF+BC=4+5=9，
所以，PA的值為4或9；

（2）∵E是AD的中點，AD=12，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

×12=6，
∵以點P、B、C、E為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴PE=BC=5，
若點P在點E的左邊，則PA=AE=PE=6-5=1，
若點P在點E的右邊，則PA=AE+PE=6+5=11，
所以，PA的值為1或11；

（3）①如圖1，由（2）可知當PA=1時，四邊形PBCE是平行四邊形，
PF=AF-AP=4-1=3，
在Rt△PBF中，由勾股定理得PB=

PF2+BF2

=

32+42

=5，
∴CE=BC，
∴四邊形PBCE是菱形；
②如圖2，由（2）可知當PA=11時，四邊形PEBC是平行四邊形，
EF=AE-AF=6-4=2，BF=4，
由勾股定理可得BE=

EF2+BF2

=

22+42

=

20

≠5不合題意舍去，
綜上，PA=1時，以P、B、C、E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形．

點評：本題考查了梯形的知識，平行四邊形的判定，直角梯形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．