Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）經(jīng)過多少時間，四邊形ABQP成為矩形？
（2）經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD成為等腰梯形？
（3）問四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

分析：（1）因為∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；
（2）因為PD∥QC，當(dāng)PQ=CD，PD≠Q(mào)C時，四邊形PQCD為等腰梯形．過P，D分別作PE⊥BC，DF⊥BC后，可求出CF=6，所以當(dāng)?shù)妊�梯形成立時，CQ=PD+12，然后列方程解答即可；
（3）因為PD∥BQ，當(dāng)PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間t的值，再代入求BP，發(fā)現(xiàn)BP≠PD，判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設(shè)Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據(jù)PD=BQ=BP列出關(guān)于v、t的方程組，解方程組即可求出點Q的速度．

解答：解：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，
此時有t=22-3t，解得t=

11

2

．
∴當(dāng)t=

11

2

s時，四邊形ABQP成為矩形；

（2）∵PD∥QC，
∴當(dāng)PQ=CD，PD≠Q(mào)C時，四邊形PQCD為等腰梯形．
過P，D分別作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)．
∴四邊形ABFD是矩形，四邊形PEFD是矩形，
∴BF=AD=16cm，EF=PD，
∵BC=22cm，
∴FC=BC-BF=22-16=6（cm）．
由等腰梯形的性質(zhì)知，QE=FC=6cm．
∴QC=EF+QE+FC=PD+12=AD-AP+12，
即3t=（16-t）+12，解得t=7．
∴當(dāng)t=7s時，四邊形PQCD是等腰梯形；

（3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴當(dāng)PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，
當(dāng)t=3時，PD=BQ=13，BP=

AB2+AP2

=

82+t2

=

82+32

=

73

≠13，
∴四邊形PBQD不能成為菱形；
如果Q點的速度改變?yōu)関cm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，
由題意，得

16-t=22-vt 16-t= 82+t2

，解得

t=6 v=2

．
故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形．

點評：本題借助動點主要考查了矩形、菱形的判定，勾股定理，等腰梯形的判定與性質(zhì)，以及方程和方程組在幾何圖形中的應(yīng)用，難度適中，用含t的代數(shù)式正確表示出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．