Question

如圖，⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點O（0，0），與軸相交于點A（5，0），過點A的直線AB與軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．

（1）已知AC=3，求點Ｂ的坐標(biāo)；               

（2）若AC=, D是OＢ的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的值（用含的代數(shù)式表示）．                

Answer 1

解：（1）解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，

            在Rt△AOC中，，1分

            在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB

            ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·

            ∴，即，

 ∴ ，   ∴

            解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，過C作CE⊥OA于點E，則：，

即：，∴，

∴   ∴，

設(shè)經(jīng)過A、C兩點的直線解析式為：．

       把點A（5，0）、代入上式得：

 ，    解得：，

          ∴ ，   ∴點  ．·4分

（2）點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：

連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點，                            ∴，

∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，

∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；    

由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心是DP的中點，圓心，

由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，

，OD=，

∴，點在函數(shù)的圖象上，

∴，      ∴．