Question

【題目】如圖，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O為原點建立平面直角坐標系，點B，點D分別在x軸，y軸上，點C在第一象限內，若平面內有一動點P，且滿足S△POB＝S矩形OBCD，問：

（1）當點P在矩形的對角線OC上，求點P的坐標；

（2）當點P到O，B兩點的距離之和PO+PB取最小值時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）P（，2）；（2）（，2）或（﹣，2）

【解析】

（1）根據已知條件得到C（5，3），設直線OC的解析式為y＝kx，求得直線OC的解析式為y＝x，設P（m，m），根據S△POB＝S矩形OBCD，列方程即可得到結論；

（2）設點P的縱坐標為h，得到點P在直線y＝2或y＝﹣2的直線上，作B關于直線y＝2的對稱點E，則點E的坐標為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時PO+PB的值最小，設直線OE的解析式為y＝nx，于是得到結論．

（1）如圖：

∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，

∴C（5，3），

設直線OC的解析式為y＝kx，

∴3＝5k，

∴k＝，

∴直線OC的解析式為y＝x，

∵點P在矩形的對角線OC上，

∴設P（m，m），

∵S△POB＝S矩形OBCD，

∴5×m＝3×5，

∴m＝，

∴P（，2）；

（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，

∴設點P的縱坐標為h，

∴h×5＝5，

∴h＝2，

∴點P在直線y＝2或y＝﹣2上，

作B關于直線y＝2的對稱點E，

則點E的坐標為（5，4），

連接OE交直線y＝2于P，則此時PO+PB的值最小，

設直線OE的解析式為y＝nx，

∴4＝5n，

∴n＝，

∴直線OE的解析式為y＝x，

當y＝2時，x＝，

∴P（，2），

同理，點P在直線y＝﹣2上，

P（，﹣2），

∴點P的坐標為（，2）或（﹣，2）．