Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：DE為⊙O的切線．

（2）求證：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

考點：

切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）證△ABD∽△CAD，推出=，證△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．

解答：

證明：（1）連結(jié)DO、DA，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠CDA=∠BDA=90°，

∵CE=EA，

∴DE=EA，

∴∠1=∠4，

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵∠4+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠EDO=90°，

∵OD是半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA，

∵∠CDA=∠BDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴=，

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，

∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，

∵∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB，

∴=，

∴=，

即AB：AC=BF：DF．

點評：

本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．