Question

已知二次函數(shù)的圖象過（0，3），（3，0），且對稱軸為直線x=1．
（1）求這個二次函數(shù)的圖象的解析式；
（2）指出二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
（3）利用草圖分析，當函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是多少．

Answer 1

分析：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），根據(jù)題意得到

c=3 9a+3b+c=0 - b 2a =1

，然后解方程組即可確定解析式；
（2）由于對稱軸為直線x=1，則把x=1代入解析式可計算出對應的縱坐標，這樣可得到頂點坐標；
（3）先確定拋物線與x軸的交點坐標，畫出草圖，然后觀察圖象可得到當-1＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸上方，即y＞0．

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），
根據(jù)題意得

c=3 9a+3b+c=0 - b 2a =1

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以個二次函數(shù)的圖象的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）把x=1代入y=-x²+2x+3得y=-1+2+3=4，
所以拋物線的頂點坐標為（1，4）；
（3）如圖，令y=0，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
即拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（3，0），
當-1＜x＜3時，y＞0．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），再把三個點的坐標代入得到關于a、b、c的方程組，解方程組即可確定其解析式．也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．