Question

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．

⑴求證△ABD為等腰三角形．

⑵求證AC•AF=DF•FE

Answer 1

【解題思路】（1）利用同角的補角相等，同弧所對的圓周角相等，等量代換；

（2）證等積式就要找三角形相似，發(fā)現(xiàn)AC、AF、FE所在的三角形，且利用等弧對等弦，同圓中等弦對等弧，發(fā)現(xiàn)DF可以被DC替換，進而求解。

【答案】⑴由圓的性質(zhì)知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②   由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴AC•AF= CD •FE

而CD=DF，

∴AC•AF=DF•FE