已知,正方形ABCD中,△BEF為等腰直角三角形,且BF為底,取DF的中點(diǎn)G,連接EG、CG.

(1)如圖1,若△BEF的底邊BF在BC上,猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為________;
(2)如圖2,若△BEF的直角邊BE在BC上,則(1)中的結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若△BEF的直角邊BE在∠DBC內(nèi),則(1)中的結(jié)論是否還成立?說(shuō)明理由.

解:(1)GC=EG,(1分)理由如下:
∵△BEF為等腰直角三角形,
∴∠DEF=90°,又G為斜邊DF的中點(diǎn),
∴EG=DF,
∵ABCD為正方形,
∴∠BCD=90°,又G為斜邊DF的中點(diǎn),
∴CG=DF,
∴GC=EG;

(2)成立.
如圖,延長(zhǎng)EG交CD于M,
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°,
∴EF∥CD,
∴∠EFG=∠MDG,
又∠EGF=∠DGM,DG=FG,
∴△GEF≌△GMD,
∴EG=MG,即G為EM的中點(diǎn).
∴CG為直角△ECM的斜邊上的中線,
∴CG=GE=EM;

(3)成立.
取BF的中點(diǎn)H,連接EH,GH,取BD的中點(diǎn)O,連接OG,OC.
∵CB=CD,∠DCB=90°,∴
∵DG=GF,
∴GH∥BD,且GH=BD,
OG∥BF,且OG=BF,
∴CO=GH.∵△BEF為等腰直角三角形.
.∴EH=OG.
∵四邊形OBHG為平行四邊形,
∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°.
∴∠GOC=∠EHG.
∴△GOC≌△EHG.
∴EG=GC.
分析:(1)EG=CG,理由為:根據(jù)三角形BEF為等腰直角三角形,得到∠DEF為直角,又G為DF中點(diǎn),根據(jù)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到EG為DF的一半,同理在直角三角形DCF中,得到CG也等于DF的一半,利用等量代換得證;
(2)成立.理由為:延長(zhǎng)EG交CD于M,如圖所示,根據(jù)“ASA”得到三角形EFG與三角形GDM全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EG與MG相等,即G為EM中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG與CG相等都等于斜邊EM的一半,得證;
(3)成立.理由為:取BF的中點(diǎn)H,連接EH,GH,取BD的中點(diǎn)O,連接OG,OC,如圖所示,因?yàn)橹苯侨切蜠CB中,O為斜邊BD的中點(diǎn),根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC等于BD的一半,由HG為三角形DBF的中位線,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半,得到GH等于BD一半,OG等于BF的一半,又根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EH等于BF的一半,根據(jù)等量代換得到OG與EH相等,再根據(jù)OBHG為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊相等,對(duì)角相等,進(jìn)而得到∠GOC與∠EHG相等,利用“SAS”得到△GOC與△EHG全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.
點(diǎn)評(píng):此題考查了正方形的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì).要求學(xué)生掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半.掌握這些性質(zhì),熟練運(yùn)用全等知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.
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(2)問(wèn):在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CG•CP的值是否發(fā)生改變?如果不變,請(qǐng)求這個(gè)值;若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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①△APD≌△AEB﹔②點(diǎn)B到直線AE的距離為
3
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2

其中正確結(jié)論的序號(hào)是( �。�

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