如圖,直線y=kx+6與x、y軸分別交于E、F.點E坐標為(-8,0),點A的坐標為(-6,0),P(x,y)是直線y=kx+6上的一個動點.
(1)求k的值;
(2)若點P是第二象限內的直線上的一個動點,當點P運動過程中,試寫出三角形OPA的面積S與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)探究:當P運動到什么位置時,三角形OPA的面積為
278
,并說明理由.
分析:(1)將點E的坐標(-8,0)代入直線y=kx+6,得到關于k的方程,解方程即可求出k的值;
(2)由點A的坐標為(-6,0)得到OA=6,求△OPA的面積時,可看作以OA為底邊,高是P點的縱坐標的絕對值.再根據(jù)三角形的面積公式表示出△OPA的面積,從而求出其關系式;根據(jù)P點運動的范圍可求出自變量x的取值范圍;
(3)根據(jù)三角形的面積公式,由△OPA的面積為
27
8
,列出關于點P的縱坐標y的方程,解方程求出y的值,再代入直線的解析式求出x的值,即可得到P點的坐標.
解答:解:(1)∵點E(-8,0)在直線y=kx+6上,
∴0=-8k+6,
∴k=
3
4
;

(2)∵k=
3
4
,
∴直線的解析式為:y=
3
4
x+6,
∵點P(x,y)是第二象限內的直線y=
3
4
x+6上的一個動點,
∴y=
3
4
x+6>0,-8<x<0.
∵點A的坐標為(-6,0),
∴OA=6,
∴S=
1
2
OA•|yP|=
1
2
×6×(
3
4
x+6)=
9
4
x+18.
∴三角形OPA的面積S與x的函數(shù)關系式為:S=
9
4
x+18(-8<x<0);

(3)∵三角形OPA的面積=
1
2
OA•|yP|=
27
8
,P(x,y),
1
2
×6×|y|=
27
8
,
解得|y|=
9
8
,
∴y=±
9
8

當y=
9
8
時,
9
8
=
3
4
x+6,
解得x=-
13
2
,故P(-
13
2
,
9
8
);
當y=-
9
8
時,-
9
8
=
3
4
x+6,
解得x=-
19
2
,故P(-
19
2
,-
9
8
);
綜上可知,當點P的坐標為P(-
13
2
9
8
)或P(-
19
2
,-
9
8
)時,三角形OPA的面積為
27
8
點評:本題是一次函數(shù)的綜合題,考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,三角形面積公式的運用,難度適中.注意第三問中的點P(x,y)是直線y=kx+6上的一個動點,不能直接代入第二問所求的函數(shù)解析式,否則漏解,這是本題容易弄錯的地方.
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A、3
B、
3
2
C、
2
3
D、-
3
2

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1
2
x>kx+b>-2的解集為( 。
A、x<2
B、x>-1
C、x<1或x>2
D、-1<x<2

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x≥0

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