Question

13．如圖，拋物線y=ax²+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作ME⊥y軸于點E，連接BE交MN于點F，已知點A的坐標為（-1，0），B的坐標為（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）直接寫出△EMF與△BNF的面積之比以及點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），化為一般式后得-2a=2，解得a=1，于是得到拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；然后配成頂點式得到M點的坐標；
（2）先確定E（0，4），再利用EM∥BN可得△EMF∽△BNF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{{S}_{△EMF}}{{S}_{△BNF}}$=（$\frac{EM}{BN}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{MF}{NF}$=$\frac{EM}{BN}$=$\frac{1}{2}$，則可計算出FN=$\frac{8}{3}$，從而得到點F的坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
則-2a=2，解得a=1，
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則M點的坐標為（1，4）；
（2）∵ME⊥y軸，
∴E（0，4），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴N（1，0），
∴BN=3-1=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴$\frac{{S}_{△EMF}}{{S}_{△BNF}}$=（$\frac{EM}{BN}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$；
$\frac{MF}{NF}$=$\frac{EM}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
而MN=4，
∴FN=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
∴點F的坐標為（1，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判斷與性質(zhì)．