Question

如圖．直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上．OA∥BC，OA=4，OC=，
∠OAB=45°，D是BC上一點，CD=．E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°，設OE=x，AF=y．
（1）AB=________，BC=________，∠DOE=________；
（2）證明△ODE∽△AEF，并確定y與x之間的函數關系；
（3）當AF=EF時，將△AEF沿EF折疊，得到△A′EF，求△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）過B作BM⊥OA于M，
則四邊形CBMO是矩形，
∵∠BAO=45°，
∴BC=OM，OC=BM=MA=，
由勾股定理得：AB==3，
BC=OA-AM=，
∵CD=OC，
∴∠COD=∠CDO=45°，
∴∠DOE=45°，
故答案為：3，，45°．

（2）證明：∵∠BAO=∠DOE=45°，
∵∠ODE=∠DEA-45°，∠FEA=∠DEA-45°，
∴∠ODE=∠FEA，
∴△ODE∽△AEF，
∴=，
即=，
∴y=-x²+x，
即y與x的函數關系式是y=-x²+x．

（3）當EF=AF時，如圖，∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，D在A'E上，A'E⊥OA，B在A'F上，A'F⊥EF，
∴△A'EF與五邊形OEBC重疊部分的面積為四邊形EFBD的面積，
∵AE=OA-OE=OA-CD=4-=，
∴AF=EF=÷=，
∴S_△AEF=EF•AF=×=，
∴S_梯形AEDB=（BD+AE）•DE=×（+）×=，
∴S_{四邊形BDEF}=S_梯形AEDB-S_△AEF=-=．
分析：（1）過B作BM⊥OA于M，證四邊形CBMO是矩形，推出CB=OM，OC=BM=AM，即可求出答案；
（2）證△ODE∽△AEF，根據相似三角形的性質得到比例式，即可求出答案；
（3）若AF=EF，此時△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延長線上，重合部分是四邊形EDBF，其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得．
點評：本題主要考查對直角梯形，相似三角形的性質和判定，矩形的性質和判定，三角形的面積，坐標與圖形性質，翻折變換等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算和推理是解此題的關鍵．