Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BD過(guò)梯形的高AE的中點(diǎn)F，且BD⊥DC，設(shè)AE=h，BC=a．
（1）用含字母h的代數(shù)式表示a；
（2）若a、h是關(guān)于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的兩根，求sin∠DBC的值．

Answer 1

分析：（1）首先由Rt△AFD≌Rt△EFB，可得BF=FD，BE=1；且EF=

h

2

；且BD=BF；進(jìn)而可用h表示出BD，BF的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△BEF∽R(shí)t△BDC，可得

BE

BF

=

BD

BC

；代入h的關(guān)系與BC=a可得答案；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+h=m+2，ah=

10m

3

；結(jié)合（1）的結(jié)論，可得a，h的值，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，AD∥BC，且AF=EF；
易得Rt△AFD≌Rt△EFB，故BF=FD，BE=1；且EF=

h

2

；
由勾股定理可得：BF=

1+ h2 4

；又可得AD=2AF；
Rt△BEF與Rt△BDC中，有∠BEF=∠BDC=90°，∠B=∠B；
故Rt△BEF∽R(shí)t△BDC，進(jìn)而可得

BE

BF

=

BD

BC

；
化簡(jiǎn)可得：a=2（1+

h2

4

）；即a=2+

h2

2

．

（2）若a、h是關(guān)于x的一元二次方程3x²-3（m+2）x+10m=0的兩根，
則a+h=m+2，ah=

10m

3

；
又有a=2+

h2

2

；解可得a=20，h=6；
DC=

BC2-BD2

=16；
易得sin∠DBC=

DC

BC

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形，菱形、直角三角形的相關(guān)知識(shí)．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為菱形和直角三角形，從而由菱形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解．