Question

如圖，AD是圓O的切線，切點(diǎn)為A，AB是圓O 的弦.過點(diǎn)B作BC//AD，交圓O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CD//AB，交AD于點(diǎn)D.連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且ÐBCP=ÐACD.

(1) 判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由：

(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）相切；證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）通過分析，直線與圓O已經(jīng)有一個(gè)公共點(diǎn)，連接半徑0C，只要證明OC⊥PC即可；（2）根據(jù)AD是切線和AD∥BC證明AP⊥BC，利用垂徑定理計(jì)算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定義計(jì)算出AM的長，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程計(jì)算出圓O的半徑的長，最后證明△OMC～△OCP，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出PC的長.

試題解析： (1) 直線PC與圓O相切.

連接CO并延長，交圓O于點(diǎn)N，連接BN.

∵AB//CD，

∴ÐBAC=ÐACD.

∵ÐBAC=ÐBNC，

∴ÐBNC=ÐACD.

∵ÐBCP=ÐACD，

∴ÐBNC=ÐBCP.

∵CN是圓O的直徑，

∴ÐCBN=90°.

∴ÐBNC+ÐBCN=90°，

∴ÐBCP+ÐBCN=90°.

∴ÐPCO=90°，即PC^OC.

又∵點(diǎn)C在圓O上，

∴直線PC與圓O相切.

(2) ∵AD是圓O的切線，

∴AD^OA，即ÐOAD=90°.

∵BC//AD，

∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC.

∴MC=MB.

∴AB=AC.

在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，

由勾股定理，得AM===6.

設(shè)圓O的半徑為r.

在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，

∴(6-r)²+3²=r².

解得r= .

在△OMC和△OCP中，

∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

∴△OMC～△OCP.

∴=，即 =.

∴PC=.

考點(diǎn)：1切線的性質(zhì)和判定，2勾股定理，3相似三角形的性質(zhì)和判定.