Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，-3），
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為9，若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在．說明理由；
（3）在（2）的情況下，P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于Q點，求線段PQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)D（a，a²-2a-3），過點D，作DE⊥x軸于E，利用S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，求出a的值即可，進(jìn)而求出D點坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)（2）中D點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PQ的長度，利用二次函數(shù)的最值求出即可．
解答：解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點的坐標(biāo)，
代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如圖1，設(shè)D（a，a²-2a-3），過點D 作DE⊥x軸于E
則S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=×3×1+a（-a²+2a+3+3）+（-a²+2a+3）（3-a），
=，
由S_{四邊形ACDB}=9得，
=9，
解得a₁=2，a₂=1，
當(dāng)a=2，a²-2a-3=-3，
當(dāng)a=1，a²-2a-3=-4，
則D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于點D存在兩種情形，則也有兩種情形
①如圖2，當(dāng)D（2，-3）時，A（-1，0），
代入y=ax+b得：，
解得：，
故直線AD的解析式為：y=-x-1，
可設(shè)P（m，-m-1）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-） ²+，
此時PQ的最大值為，
②如圖3，當(dāng)D（1，-4）時，可求得直線AD的解析式為：y=-2x-2，
可設(shè)P（m，-2m-2）；則Q（m，m²-2m-3），
則PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此時PQ的最大值為1．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及圖形面積和二次函數(shù)的最值問題，利用四邊形面積得出a的值是解題關(guān)鍵．