Question

如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），與y軸相交于點C，⊙O1為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑；

（3）如圖2，拋物線的頂點為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點，若點N在坐標平面內(nèi)，滿足△BMN∽△BPC，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）如答圖1所示，由△AOC為等腰直角三角形，確定∠CAB=45°，從而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定△BO1C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度；

（3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點D坐標，進而求出點M的坐標和線段BM的長度；點B、P、C的坐標已知，求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段BN和MN的長度；最后利用兩點間的距離公式，列出方程組，求出點N的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），

∴，

解得a=1，b=4，

∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x²+4x+3，

∵令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∴cos∠CAB=．

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．

如答圖1所示，連接O1B、O1B，

由圓周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，

∴△BO₁C為等腰直角三角形，

∴⊙O₁的半徑O₁B=BC=．

（3）拋物線y=x²+4x+3=（x+2）²-1，

∴頂點P坐標為（-2，-1），對稱軸為x= -2．

又∵A（-3，0），B（-1，0），可知點A、B關(guān)于對稱軸x=2對稱．

如答圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點D、點C（0，3）關(guān)于對稱軸對稱，

∴D（-4，3）．

又∵點M為BD中點，B（-1，0），

∴M（，），

∴BM=；

在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），

由兩點間的距離公式得：BP=，BC=，PC=．

∵△BMN∽△BPC，

∴，即，

解得：，MN．

設(shè)N（x，y），由兩點間的距離公式可得：

，

解之得，，

∴點N的坐標為（，）或（，）．

【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點間的距離公式等重要知識點，涉及的考點較多，試題難度較大．難點在于第（3）問，需要認真分析題意，確定符合條件的點N有兩個，并畫出草圖；然后尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點N的坐標．