Question

【題目】如圖，中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，平分，連接，.

（1）求證：；

（2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

（3）若，判定四邊形是否為菱形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）四邊形是菱形，理由見解析.

【解析】（1）由條件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，由F是AD的中點(diǎn)，FG∥AE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；

（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依據(jù)EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）由∠B=30°，可得∠ADE=30°，進(jìn)而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根據(jù)四邊形AECF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形．

（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA．

∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG．

∵DE⊥AC，∴FG⊥DE．

∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED．

∵F是AD的中點(diǎn)，FG∥AE，∴H是ED的中點(diǎn)，∴FG是線段ED的垂直平分線，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；

（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；

（3）四邊形AEGF是菱形．證明如下：

∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AEGF是菱形．