Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥x軸，且交拋物線于點(diǎn)D，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，連接AC．

（1）求S△ABD的值；

（2）如圖2，若點(diǎn)P是直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AD于點(diǎn)F，作PG∥AC交直線AD于點(diǎn)G，當(dāng)△PGF的周長最大時(shí)，在線段DE上取一點(diǎn)Q，當(dāng)PQ+QE的值最小時(shí)，求此時(shí)PQ+ QE的值；

（3）如圖3，M是BC的中點(diǎn)，以CM為斜邊作直角△CMN，使CN∥x軸，MN∥y軸，將△CMN沿射線CB平移，記平移后的三角形為△C′M′N′，當(dāng)點(diǎn)N′落在x軸上即停止運(yùn)動(dòng)，將此時(shí)的△C′M′N′繞點(diǎn)C′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)度數(shù)不超過180°），旋轉(zhuǎn)過程中直線M′N′與直線CA交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，與x軸交于點(diǎn)W，請問△CST是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的WN′的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或．

【解析】試題分析：（1）求出A、B、C的坐標(biāo)，由CD∥AB，推出S△DAB=S△ABC=ABOC，由此即可解決問題；

（2）首先說明PF的值最大時(shí)，△PFG的周長最大，由PF=，可知當(dāng)m==時(shí)，PF的值最大，此時(shí)P（， ），作P關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO，可得=，推出QM=QE，推出PQ+EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出當(dāng)P′、Q、M共線時(shí)，PQ+EQ的值最小，想辦法求出P′的坐標(biāo)即可解決問題；

（3）分四種情形情形討論．

試題解析：解：（1）令y=0，則，解得x=或，∴A（，0），B（，0），C（0， ），∵CD∥AB，∴S△DAB=S△ABC=ABOC=××=．

（2）如圖2中，設(shè)P（m， ）．

∵A（，0），D（， ），∴直線AD的解析式為，∵PF∥y軸，∴F（m， ），∵PG⊥DE，∴△PGF的形狀是相似的，∴PF的值最大時(shí)，△PFG的周長最大，∵PF=﹣（）=，∴當(dāng)m==時(shí)，PF的值最大，此時(shí)P（， ），作P關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，∵△QEM∽△EAO，∴=，∴QM=QE，∴PQ+EQ=PQ+QM=P′Q+QM，∴當(dāng)P′、Q、M共線時(shí)，PQ+EQ的值最小，易知直線PP′的解析式為，由 ，可得G（， ），∵PG=GP′，∴P′（， ），∴P′M==，∴PQ+EQ的最小值為．

（3）①如圖3中，當(dāng)CS=CT時(shí)，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，∵ ====，∴OK= =，易證∠BWN′=∠OCK，∴tan∠BWN′=tan∠OCK==，∵BN′=，∴WN′=．

②如圖4中，當(dāng)TC=TS時(shí)，易證∠BWN′=∠OAC，∴tan∠BWN′=tan∠OAC== ，∴WN′=；

③如圖5中，當(dāng)TS=TC時(shí)，延長N′B交直線AC于Q，作BG⊥AQ于G，QR⊥AB于R．

∵TS=TC，∴∠TSC=∠TCS=∠ACO，∵∠TSC+∠SQN′=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∴∠BQA=∠OAC=∠BAQ，∴BA=BQ，∴AG=GQ，設(shè)AQ=a，則易知BG=a，BQ=AB=a，∵AQBG=ABQR，∴QR=a，BR=a，∴tan∠WBN′=tan∠QBR==，∴WN′=．

④如圖6中，當(dāng)CS=CT時(shí)，由①可知，在Rt△BN′W中，tan∠N′BW==，∴′W=．

綜上所述，滿足條件的WN′的長為或或或．