Question

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點(diǎn)A，與大圓相交于B，大圓的弦BC⊥AB，過(guò)點(diǎn)C作大圓的切線交AB的延長(zhǎng)線于D，OC交小圓于E
（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設(shè)大圓的半徑為x，CD的長(zhǎng)y，yx之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域．
（3）△BCE能否成為等腰三角形？如果可能，求出大圓半徑；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由大⊙O與CD相切于點(diǎn)C，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠DCO=90°，又由BC⊥AB，OB=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角與等角的余角相等，可得∠BCD=∠ABO，又由小⊙O與AB相切于點(diǎn)A，可得∠CBD=∠BAO=90°，由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定△AOB∽△BDC；
（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H．易得四邊形OABH是矩形，由勾股定理可得AB=，又由△AOB∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）分別從EB=EC，CE=CB，BC=BE去分析求解，即可求得答案．
解答：（1）證明：∵大⊙O與CD相切于點(diǎn)C，
∴∠DCO=90°．
∴∠BCD+∠OBC=90°，…（1分）
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，…（1分）
∴∠BCD=∠ABO．…（1分）
∵小⊙O與AB相切于點(diǎn)A，
∴∠BAO=90°．
∴∠CBD=∠BAO．…（1分）
∴△AOB∽△BDC．…（1分）

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H．
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四邊形OABH是矩形．…（1分）
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，…（1分）
在Rt△OAB中，AB==．…（1分）
∵△AOB∽△BDC，
∴，…（1分）
∴，
∴函數(shù)解析式為y=，…（1分）
定義域?yàn)椋簒＞1．…（1分）

（3）解：當(dāng)EB=EC時(shí)，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，
∴EB≠EC．
當(dāng)CE=CB時(shí)，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．…（1分）
當(dāng)BC=BE時(shí)，∠BEC=∠ECB=∠OBC，則△BCE∽△OCB．…（1分）
則，
設(shè)OC=x，則CE=x-1，，
解得：x=（負(fù)值舍去）．
∴OC=．…（1分）
綜上所述，△BCE能成為等腰三角形，這時(shí)大圓半徑為3或．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次根式有意義的條件，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．