Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，DB⊥AB，AB=4，BC=5，AE平分∠BAD，EF⊥BC于E，求EF長．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC=5，DC=AB=4，AD∥BC，然后再結(jié)合AE平分∠BAD求出EB=AB=4，進而可得EC的長度，再利用勾股定里計算出BD=3，然后證明△CDB∽△CEF，可得$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，進而可得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=5，DC=AB=4，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB=∠AEB，
∴EB=AB=4，
∴EC=5-4=1，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CEF，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{4}$，
∴EF=$\frac{1}{4}$BD=$\frac{1}{4}$×3=$\frac{3}{4}$．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等．