Question

已知如圖，二次函數圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.

(1)求、兩點坐標,并證明點在直線上；
(2)求二次函數解析式；
(3)過點作直線∥交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、、,求和的最小值.

Answer 1

解:(1)依題意,得
解得,
∵點在點右側
∴點坐標為,點坐標為  （2分）
∵直線:
當時,
∴點在直線上   （3分）
(2)∵點、關于過點的直線:對稱
∴
過頂點作交于點則,
∴頂點   （5分）
把代入二次函數解析式,解得
∴二次函數解析式為   （7分）
(3)直線的解析式為
直線的解析式為
由解得即,則
∵點、關于直線對稱
∴的最小值是,
過作軸于D點。
過點作直線的對稱點,連接,交直線于
則,,
∴的最小值是,即的長
是的最小值     
∵∥
∴
在Rt△BKQ， 由勾股定理得     （10分）
∴的最小值為（不同解法參照給分）

解析