Question

如圖，已知直線y＝－2x＋4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，拋物線y=-2x²+bx+c (a≠0)經過點A、C.

（1）求拋物線的解析式;
（2）設拋物線的頂點為P，在拋物線上存在點Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍.求出點Q的坐標;
（3）點M是直線y=-2x+4上的動點，過點M作ME垂直x軸于點E，在y軸（原點除外）上是否存在點F，使△MEF為等腰直角三角形? 若存在,求出點F的坐標及對應的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=-2x²+2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；（3）存在，點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），點F坐標為（0，-4）時，點M的坐標為（4，-4）；點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2）．

試題分析：1）根據直線y=-2x+4求出點A、C的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）根據拋物線解析式求出點P的坐標，過點P作PD⊥y軸于D，根據點P、C的坐標求出PD、CD，然后根據S_△APC=S_梯形APDO-S_△AOC-S_△PCD，列式求出△APC的面積，再根據拋物線解析式求出點B的坐標，從而得到AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出△ABQ的點Q的縱坐標的值，然后代入拋物線求解即可得到點Q的坐標；
（3）根據點E在x軸上，根據點M在直線y=-2x+4上，設點M的坐標為（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°時，利用點M到坐標軸的距離相等列式求解即可；②∠MFE=90°時，根據等腰直角三角形的性質，點M的橫坐標的長度等于縱坐標長度的一半，然后列式進行計算即可得解．
試題解析：（1）令x=0，則y=4，
令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，
所以，點A（2，0），C（0，4），
∵拋物線y=-2x²+bx+c經過點A、C，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+2x+4；
（2）∵y=-2x²+2x+4=-2（x-）²+，
∴點P的坐標為（，），
如圖，過點P作PD⊥y軸于D，

又∵C（0，4），
∴PD=，CD= ，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
=×（+2）×-×2×4-××
=
=，
令y=0，則-2x²+2x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點B的坐標為（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
設△ABQ的邊AB上的高為h，
∵△ABQ的面積等于△APC面積的4倍，
∴×3h=4×，
解得h=4，
∵4＜，
∴點Q可以在x軸的上方也可以在x軸的下方，
即點Q的縱坐標為4或-4，
當點Q的縱坐標為4時，-2x²+2x+4=4，
解得x₁=0，x₂=1，
此時，點Q的坐標為（0，4）或（1，4），
當點Q的縱坐標為-4時，-2x²+2x+4=-4，
解得x₁=，x₂=，
此時點Q的坐標為（，-4）或（，-4）
綜上所述，存在點Q（0，4）或（1，4）或（，-4）或（，-4）；
（3）存在．
理由如下：如圖，

∵點M在直線y=-2x+4上，
∴設點M的坐標為（a，-2a+4），
①∠EMF=90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=或a=4，
∴點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），
點F坐標為（0，-4）時，點M的坐標為（4，-4）；
②∠MFE=90°時，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此時，點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2），
或a=（-2a+4），此時無解，
綜上所述，點F坐標為（0，）時，點M的坐標為（，），
點F坐標為（0，-4）時，點M的坐標為（4，-4）；
點F坐標為（0，1），點M的坐標為（1，2）．
考點: 二次函數綜合題.