Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2， ），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1， ），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1， ），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+ ，

將M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，

解得a=﹣ ，

故所求拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：∵y=﹣ x2﹣ x+ ，

∴x=0時(shí)，y= ，

∴C（0， ）．

y=0時(shí)，﹣ x2﹣ x+ =0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC= =2 ．

設(shè)P（﹣1，m），

當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP= =2 ，解得m= ± ；

當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP= =2 ，解得m=±2 ；

當(dāng)PB=PC時(shí)， = ，解得m=0，

綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1， + ），（﹣1， ﹣ ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2 ），（﹣1，0）

（3）

解：由（2）知BC=2 ，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，

∵B、B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小．

由B（﹣3，0），C（0， ），易得B′（3，2 ）．

設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2， ），B′（3，2 ）代入，

得 ，解得 ，

即直線MB′的解析式為y= x+ ．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣ x+ ．

由 ，解得 ，即Q（﹣ ， ）．

所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣ ， ），使△QBM的周長(zhǎng)最小．

【解析】（1）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1， ），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+ ，再將M（﹣2， ）代入，得 =a（﹣2+1）2+ ，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC= =2 ．設(shè)P（﹣1，m），當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′（3，2 ），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y= x+ ，直線AC的解析式為y=﹣ x+ ，然后解方程組 ，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．