Question

如圖1，已知三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90度，把一塊含30度角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。
（1）在圖1中，DE交AB于M,DF交BC于N.
①直接寫出DM、DN的數(shù)量關系；
②在這一過程中，直角三角板DEF與三角形ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明如何變化的；若不發(fā)生變化，請求出其面積.
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

(1)①DM=DN;

②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四邊形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面積是一個定值
∴四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化
∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC
∴S四邊形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4

(2) 連接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中點
∴BD是△ABC的中線
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB為公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.