Question

如圖：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上．

①、則梯形的高是      ；

②、若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為，試用含的代數(shù)式表示△BEF的面積；

③、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

④、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1︰2的兩部分？若存在，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

①4；②；③存在，7；④存在，

【解析】

試題分析：①過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求得BH的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求解即可；

②根據(jù)題意畫出BE的高FM，然后，推出梯形周長(zhǎng)的一半（即12），即可知BF=12x，通過求證△FBM∽△ABH，即可推出高FM關(guān)于x的表達(dá)式，最后根據(jù)三角形的面積公式，即可表示出△BEF的面積；

③通過計(jì)算等腰梯形的面積，即可推出其一半的值，然后結(jié)合結(jié)論（2）即可推出結(jié)論；

④首先提出假設(shè)成立，然后，分情況進(jìn)行討論，①若當(dāng)BE+BF=8，△BEF的面積=，根據(jù)題意列出方程，求出x；②若當(dāng)BE+BF=16，△BEF的面積=時(shí)，根據(jù)題意列出方程，求出x，最后即可確定假設(shè)不成立，即可推出結(jié)論．

試題解析：①過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，

∴BH=（BCAD）÷2=3，

∴，即梯形的高為4；

②過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，

∴等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)=24，

∵EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，

∴BF+BE=12，

∵BE=x，

∴BF=12x，

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴，

∴△BEF的面積；

③假設(shè)線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，

∴等腰梯形ABCD面積的一半=4（4+10）÷2÷2=14，

∵當(dāng)線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)平分時(shí)，△BEF的面積關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，

∴，

∴整理方程得：，

∵，

解方程得：，

∵當(dāng)時(shí)，，

∴，不符合題意，舍去，

∴當(dāng)BE=7時(shí)，線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；

④假設(shè)存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．

∵等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)=24，等腰梯形ABCD的面積=28，

則①若當(dāng)BE+BF=8，△BEF的面積=，

∵BE=x，

∴BF=8x，

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴，

∴△BEF的面積，

當(dāng)時(shí)，

∴，

整理方程得：，

∵

∴故方程無實(shí)數(shù)解，

∴此種情況不存在；

②若當(dāng)BE+BF=16，△BEF的面積=時(shí)，

∴，

∴△BEF的面積，

∴，

整理方程得：，，

解方程得：，（舍去），

∴當(dāng)時(shí)，線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．

考點(diǎn)：1.等腰梯形的性質(zhì)；2.勾股定理；3.一元二次方程的應(yīng)用；4.解直角三角形