Question

（2013•樂山模擬）如圖，點A（-2，n），B（1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）若C是x軸上一動點，設(shè)t=CB-CA，求t的最大值，并求出此時點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A（-2，n），B（1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個交點，首先求出m的值，再求出n的值，最后列二元一次方程組求出一次函數(shù)解析式的系數(shù)；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象可以直接寫出滿足條件的x的取值范圍；
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′，延長交x軸于點C，則點C即為所求，求出A′點坐標(biāo)，利用兩點直線距離公式求出A′B的長度．

解答：解：（1）∵點A（-2，n），B（1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個交點，
∴m=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

2

x

，
∴n=1，
∴點A（-2，1），
∵點A（-2，1），B（1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象上兩點，
∴

-2k+b=1 k+b=-2

，
解得k=-1，b=-1，
故一次函數(shù)的解析式為y=-x-1；

（2）結(jié)合圖象知：
當(dāng)-2＜x＜0或x＞1時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值；

（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′，延長交x軸于點C，則點C即為所求，
∵A（-2，1），
∴A′（-2，-1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

-1=-2m+n -2=m+n

，
解得m=-

1

3

，n=-

5

3

，
即y=-

1

3

x-

5

3

，
令y=0，x=-5，
則C點坐標(biāo)為（-5，0），
當(dāng)t=CB-CA有最大值，
則t=CB-CA=CB-CA′=A′B，
∴A′B=

(-2-1)2+(-1+2)2

 =

10

．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握求出一次函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式的方法，解答第三問的時候需要熟練掌握對稱點等相關(guān)知識，此題難度不大．