Question

已知拋物線y=-x²+(m+2)x+m-1與x軸交于A、B兩點（點A、B分別在原點O的兩側），以OA、OB為直徑分別作⊙O₁，⊙O₂，

（1）⊙O₁和⊙O₂能否為等圓？若能，求出半徑的長度；若不能，請說明理由；

（2）設拋物線向上平移4個單位后，⊙O₁和⊙O₂的面積分別為S₁，S₂，且4S₂-16S₁=5p，求平移后的拋物線的解析式；

（3）若由（2）所得拋物線與y軸交于點C，過，作⊙O₁的切線，交y軸于Q點，求DPQC的面積。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）不能為等圓，設A(x1，0)，B(x2，0)，則x1x2=-(m-1)<0，解得m>1，x1+x2=m+2>0，即，x1+x2¹0，A、B兩點到原點距離不等，即⊙O1和⊙O2的直徑不相等，⊙O1和⊙O2不能為等圓； （2）拋物線向上平移4個單位，其解析式為y=-x2+(m+2)x+m+3，令y=0，解得x1=-1，x2=m+3，⊙O1和⊙O2的半徑分別為和，由4S2-16S1=5p，解得m1=0，m2=-6，當m=0時，y=-x2+2x+3，當m=-6時，y=-x2-4x-3，但此時，x1x2=3>0，不合題意，舍去，所以所求的解析式為y=-x2+2x+3； （3）設PQ與⊙O1切于點D ，連O1D，則O1D^PQ，PO1=1， 在RtDPDO1中， ，∴ÐO1PD=30°，在RtDPOQ中，，∴ 或，由C(0，3)，得DPQC的面積為或。