Question

（滿分12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連結AD、BD．

（1）求證：∠ADB=∠E；

（2）當點D運動到什么位置時，DE是⊙O的切線？請說明理由．

（3）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

 

（1）略

（2）是

（3）

解析:（1）在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．

          ∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，

         ∴∠E=∠C． 

又∵∠ADB=∠C，   　∴∠ADB=∠E．

（2）當點D是弧BC的中點時，DE是⊙O的切線．

理由是：當點D是弧BC的中點時，則有AD⊥BC，且AD過圓心O．

 又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED．           

      ∴ DE是⊙O的切線．

（3）連結BO、AO，并延長AO交BC于點F， 則AF⊥BC，且BF=BC=3．

        又∵AB=5，∴AF=4．

        設⊙O的半徑為，

在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，

　　　　　　∴　＝3＋（4－） 

          解得＝，       

 ∴⊙O的半徑是