如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(0,-3),⊙M與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C、E;拋物線y=ax2+(4a-2)x-8(a≠0)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn);
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a取何值時(shí),拋物線y=ax2+(4a-2)x-8(a≠0)的對(duì)稱軸與⊙M相切?
(3)如圖2,當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)D在第四象限內(nèi)時(shí),連接BC、BD,且tan∠CBD=
①試確定a的值;
②設(shè)此時(shí)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)F,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)T,使|TM-TF|達(dá)到最大,并求出最大值.(請(qǐng)?jiān)趫D2中作出點(diǎn)T)

【答案】分析:(1)連接MA,分別求得OC、OM、MC、MA后即可得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,并表示出其對(duì)稱軸,根據(jù)切線的性質(zhì)得到a的值即可;
(3)①利用兩角的正切值相等可以得到兩個(gè)角相等,并利用BD⊥AB得到-2+=4并求得a的值即可;
②由對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)F的坐標(biāo)是(12,0),再由對(duì)稱性,TF=TA,則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA,因此,當(dāng)點(diǎn)T是MA的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),|TM-TF|達(dá)到最大,最大值是5;據(jù)此可以求得點(diǎn)T的坐標(biāo).
解答:解:(1)連接MA,
∵拋物線y=ax2+(4a-2)x-8(a≠0)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn);
∴x=0時(shí),y=-8,則C點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-8),
∵M(jìn)(0,-3),
∴OM=3,
∴MC=8-3=5,
則MA==5,
∴OA=OB=4,
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)、(0,-8),

(2)∵拋物線y=ax2+(4a-2)x-8(a≠0),
∴它的對(duì)稱軸是直線:x=-=-2+;
要使拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切,則-2+=±5,
當(dāng)a=或a=-時(shí),拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切;

(3)①在Rt△BOC中,tan∠BCO==
又∵tan∠CBD=,
∴∠BCO=∠CBD,
∴BD∥OC,
又∵OC⊥AB,
∴BD⊥AB,
即得:-2+=4,
∴a=
②如圖,由對(duì)稱性,此時(shí),拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)F的坐標(biāo)是(12,0),
由三角形的兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)可知:|TM-TF|≤MF,要使|TM-TF|達(dá)到最大,
則點(diǎn)T應(yīng)在線段MF的延長(zhǎng)線,但不可能同時(shí)在拋物線的對(duì)稱軸上,
故達(dá)不到最大值是線段MF的長(zhǎng);
而由對(duì)稱性,TF=TA,則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA,
因此,當(dāng)點(diǎn)T是MA的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),|TM-TF|達(dá)到最大,最大值是5;
∵BD∥OC,又OA=OB,
∴BT=6,
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)是(4,-6);[也可求出MA所在直線的一次函數(shù),再求點(diǎn)T坐標(biāo)]
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的對(duì)稱軸公式和三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí),利用三角形三邊關(guān)系得出|TM-TF|是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說(shuō)在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作
(2,2)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)

(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:同步輕松練習(xí) 八年級(jí) 數(shù)學(xué) 上 題型:059

學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn).

(3)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時(shí),s的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年北京海淀區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀下面的材料:

小明在研究中心對(duì)稱問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)再繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),小明發(fā)現(xiàn)P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)、, 小明在證明P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí),除了說(shuō)明P、三點(diǎn)共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn). 繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐為.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說(shuō)在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),
(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作______.

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