Question

【題目】我們可以用表示為自變量的函數，如一次函數，可表示，，．

（1）已知二次函數；

①求證：不論為何值，此函數圖像與軸總有兩個交點；

②若，是否存在實數，使得當時，函數的最小值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）已知函數，，若實數、使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見詳解；②存在，或；（2）．

【解析】

(1)①f(x)=x22axa2，則△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，所以不論a為何值，此函數圖象與x軸總有兩個交點；
②由已知可求f(x)=x2+2x1，則有g(x)=f(x)2mx=x2+(22m)x1=(x+1m)2(m22m+2)，分兩種情況求解：當mm1m+2時，即m2，g(m1)=(m22m+2)= ，；當m1<m時，即m<2，g(m)= m2+m1=；
(2)由f(x)=g(y)=3，可得4x42x2=3，求得x2=，再由y4+y2=3，求得y2=，，則有4x4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．

解：(1)①f(x)=x22axa2，
則△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，
∴不論a為何值，此函數圖象與x軸總有兩個交點；
②f(1)=2，則a=1，
∴f(x)=x2+2x1，
g(x)=f(x)2mx=x2+(22m)x1=(x+1m)2(m22m+2)，
∴g(x)的對稱軸為x=m1，
當mm1m+2時，即m2，g(m1)=(m22m+2)= ，
∴；
當m1<m時，即m<2，g(m)= m2+m1=，
∴m=；
綜上所述：或m=-時，g(x)最小值為；
(2)∵f(x)=g(y)=3，
∴4x42x2=3，
令x2=t，則有4t22t=3，
∴t=，
∵t>0，
∴t=，
∴y4+y2=3，
∴y2=，
∴4x4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．