Question

如圖，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直線y=kx交折線A-B-C于點P，點A關(guān)于OP的對稱點A′
（1）當A′恰好在CB邊上時，C A′=______，k=______
（2）k=______時，經(jīng)過O、A、A′的拋物線恰好以A′為頂點，該拋物線的解析式是______
（3）若P在AB邊上，A′在CB上方時，A′O、A′P交CB邊于點E，F(xiàn)．求k為何值時△A′EF≌△BPF？并說明理由．
（4）以OP為直徑作⊙M，則⊙M與矩形OABC最多有______個公共點，并寫出公共點個數(shù)最多時k的取值范圍______（直接寫答案）

Answer 1

解：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設A′（x，3）（0＜x＜5）．
∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
∴OA=5，OC=3．
∵點A與點A′關(guān)于直線OP對稱，
∴OA′=OA=5，
∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′===4，
即C A′=4，
∴A′（4，3），
∴線段AA′的中點D的坐標是（4.5，1.5）在直線OP上，
∴k==．

（2）∵該拋物線經(jīng)過點O、A，
∴可設交點式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x-）²-a．
∵該拋物線以點A′為頂點，
∴A′（，-a）．
∴k_AA′==，線段AA′的中點的坐標是（，-a）．
又∵點A與點A′關(guān)于直線OP對稱，
∴線段AA′的中點的坐標是（，-a）在直線OP上，
則，
解得，，
∴該拋物線的解析式是或；

（3）當k=時，△A′EF≌△BPF．理由如下：
如圖2，設P（5，y）．∵點A與點A′關(guān)于直線OP對稱，
∴△OAP≌△OA′P，
∴AP=A′P，OA=OA′=5．
∵△A′EF≌△BPF，
∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
∴∠CEO=∠BPF，
∴，
解得，y=，則k==；

 （4）如圖3，最多有6個交點，k的取值范圍是：且．
當0＜k＜時，有4個共同點
k=或時，有5個共同點；
k=時，有4個共同點．
故答案是：4，；；k=，或；6，且．
分析：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設A′（x，3）．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，點的坐標與圖形的性質(zhì)以及勾股定理求得CA′=4，然后結(jié)合A（5，0）求得AA′的中點D的坐標是（4.5，1.5），從而求得k的值；
（2）因為該拋物線經(jīng)過點O、A，故可設交點式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0）．由頂點坐標公式求得A′的坐標，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)來求a的值；
（3）根據(jù)全等三角形的對應邊相等和對應角相等、勾股定理以及正切函數(shù)的定義來求k的值．
（4）根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)圖形回答問題．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．注意，方程組的解法的應用．