Question

如圖1，動(dòng)直線l：y=kx+2交拋物線y=x²于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸于M點(diǎn)，N為x軸正半軸上一點(diǎn)，且ON=OM+1

（1）直接寫(xiě)出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)

（2）如圖1，連AN、BN，當(dāng)∠ANB=90°時(shí)，求k的值；如圖2，過(guò)B作y軸的平行線交直線OA于C，試探求△MNC的周長(zhǎng)的最小值．

　

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）首先求得直線與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)ON=OM+1求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）設(shè)A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有關(guān)兩點(diǎn)坐標(biāo)的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求解即可；求得直線AO的解析式，然后確定點(diǎn)C的位置，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定三角形的面積的最小值即可．

【解答】解：（1）M（0，2），N（3，0）；

（2）設(shè)A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），

過(guò)A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，

則△ADN∽△NEB，

∴，

∴=，

∴（x₁x₂）²=﹣（3﹣x₁）（3﹣x₂），（x₁x₂）²=﹣[9﹣3（x₁+x₂）+x₁x₂]，

又∵由l：y=kx+2，拋物線y=x²，得： x²﹣kx﹣2=0，

∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣8，

∴（﹣8）²=﹣[9﹣3×4k﹣8]，

∴k=；

設(shè)直線AO的解析式為y=mx，

∵過(guò)A（x₁， x₁²），

∴x₁²=mx₁，

∴m=x₁，

∴直線AO的解析式為y=x₁x，

∵BC∥y軸，直線BC的解析式為x=x₂，

∴C（x₂， x₁x₂），

又∵由（1）知x₁x₂=﹣8，

∴C（x₂，﹣2），

又∵x₂＞0，

∴C點(diǎn)一定在沒(méi)有端點(diǎn)的射線y=﹣2（x＞0）上運(yùn)動(dòng)，

∴由軸對(duì)稱可知：△MNC的周長(zhǎng)的最小值為3+．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中往往設(shè)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得到方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)的方法在解決此類題目中應(yīng)用十分的廣泛，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．