Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，AD是直徑，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于E，如果CE=

6

3

，AB=2，則BC=

 

．

Answer 1

分析：連DC，過A點(diǎn)作AF⊥BC，由∠B=60°，得∠ADC=60°，再由AD為直徑，DE為⊙O的切線，可得∠ADE=90°，∠DCE=90°，∠DAE=30°，
由CE=

6

3

，利用含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系即可求得DC=

3

EC=

3

×

6

3

=

2

，AD=2

2

，AC=

3

×

2

=

6

，而AB=2，由此可得到△OAB為等要直角三角形，則∠AOB=90°，∠ACB=45°；在Rt△ACF中，AC=

2

CF，所以CF=

2

2

×

6

=

3

，在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=

1

2

×2=1，于是得到BC的長(zhǎng)．

解答：解：連DC，OB，過A點(diǎn)作AF⊥BC，如圖，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
又∵DE為⊙O的切線，
∴∠ADE=90°，
而AD為直徑，
∴∠DCE=90°，則∠DAE=30°，
∵CE=

6

3

，
∴DC=

3

EC=

3

×

6

3

=

2

，
∴在Rt△ADC中，AD=2

2

，AC=

3

×

2

=

6

，
在△OAB中，OB=OA=

2

，AB=2，所以△OAB為等要直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=45°，
在Rt△ACF中，AC=

2

CF，所以CF=

2

2

×

6

=

3

，
在Rt△ABF中，AB=2BF，所以BF=

1

2

×2=1，
所以BC=BF+FC=

3

+1．
故答案為

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了圓周角的推論：直徑所對(duì)的圓周角為90度．以及含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系和等腰直角三角形三邊的關(guān)系．