Question

閱讀以下短文，然后解決下列問題：

如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個．

(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；

(2)如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，在圖8②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大��；

(3)若△ABC是銳角三角形，且BC＞AC＞AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”． 　　(2)此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF． 　　易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面積相等(3)此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長最�。� 證明如下： 　　易知，這三個矩形的面積相等，令其為S設矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1，L2，L3，△ABC的邊長BC＝a，CA＝b，AB＝c，則 　　L1＝＋2a，L2＝＋2b，L3＝＋2c． 　　∴L1－L2＝(＋2a)－(＋2b)＝2(a－b)， 　　而ab＞S，a＞b， 　　∴L1－L2＞0，即L1＞L2． 　　同理可得，L2＞L3． 　　∴L3最小，即矩形ABHK的周長最�。�