15.小聰與同桌小明在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題:“如圖(1),在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由”.小敏與小穎討論后,進(jìn)行了如下解答:

(1)取特殊情況,探索討論:
當(dāng)點E為AB的中點時,如圖(2),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請你寫出結(jié)論:AE=DB(填“>”,“<”或“=”),并說明理由.
(2)特例啟發(fā),解答題目:
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如圖(3),過點E作EF∥BC,交AC于點F.(請你將剩余的解答過程完成)
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題:
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC,若△ABC的邊長為1,AE=2,則CD的長為3或1.(請你畫出圖形,并直接寫出結(jié)果).

分析 (1)當(dāng)E為中點時,過E作EF∥BC交AC于點F,則可證明△BDE≌△FEC,進(jìn)而得到AE=DB;
(2)過E作EF∥BC交AC于點F,可利用AAS證明△BDE≌△FEC,可得BD=EF,再證明△AEF是等邊三角形,可得到AE=EF,進(jìn)而得出AE=DB;
(3)分兩種情況:點E在AB上和在BA的延長線上,作輔助線,證明△BDE≌△FEC,得到BD=EF,求出EF的長度,即可解決問題.

解答 解:(1)AE=DB,
理由如下:∵ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD,
∵三角形ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∵點E為AB的中點,
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴∠EDC=30°,
∴∠D=∠DEB=30°,
∴DB=BE,
∵AE=BE,
∴AE=DB,
故答案為:=;

(2)如圖3,∵△ABC為等邊三角形,且EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECB,
∴∠EFC=∠DBE=120°,
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB,∠D=∠FEC,
在△EFC與△DBE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$,
∴△EFC≌△DBE(AAS),
∴EF=DB,
∵∠AEF=∠AFE=60°,
∴△AEF為等邊三角形,
∴AE=EF,AE=BD,
故答案為:=;

(3)如圖4,當(dāng)點E在AB的延長線上時,過點E作EF∥BC,交AC的延長線于點F,
則∠DCE=∠CEF,∠DBE=∠AEF,∠ABC=∠AEF,∠ACB=∠AFE,
∵△ACB為等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠EFC,而ED=EC,
∴∠D=∠DCE,∠D=∠CEF,
在△BDE與△FEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF,
∵△AEF為等邊三角形,
∴AE=EF=2,BD=EF=2,
∴CD=1+2=3;
如圖5,當(dāng)點E在BA的延長線上時,過點E作EF∥BC,交CA的延長線于點F,
類似上述解法,同理可證:DB=EF=2,BC=1,
∴CD=2-1=1,
故答案為:3或1.

點評 本題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識;解題的關(guān)鍵是作輔助線,靈活運用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點來分析、判斷.

練習(xí)冊系列答案
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5.某校對學(xué)生上學(xué)方式進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,并根據(jù)此次調(diào)查結(jié)果繪制了一個不完整的扇形統(tǒng)計圖,其中“其他”部分所占的百分比為10%,則“步行”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是( 。
A.120°B.136°C.140°D.144°

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6.計算:75×(-$\frac{1}{5}$)2-24÷(-2)3+4×(-2)

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3.下列命題為真命題的是( 。
A.若a2=b2,則a=b
B.等角的余角相等
C.同旁內(nèi)角相等,兩直線平行
D.$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$,SA2>SB2,則A組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

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10.閱讀解題過程,回答問題.
如圖,OC在∠AOB內(nèi),∠AOB和∠COD都是直角,且∠BOC=30°,求∠AOD的度數(shù).
解:過O點作射線OM,使點M,O,A在同一直線上.
因為∠MOD+∠BOD=90°,∠BOC+∠BOD=90°,
所以∠BOC=∠MOD,
所以∠AOD=180°-∠BOC=180°-30°=150°
(1)如果∠BOC=60°,那么∠AOD等于多少度?如果∠BOC=n°,那么∠AOD等于多少度?
(2)如果∠AOB=∠DOC=x°,∠AOD=y°,求∠BOC的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.(1)問題
如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.
填空:當(dāng)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為a+b(用含a,b的式子表示)
(2)應(yīng)用
點A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.
(3)拓展:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo).

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7.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,直徑DE⊥AB于點F,交BC于點 M,DE的延長線與AC的延長線交于點N,連接AM. 
(1)求證:AM=BM;
(2)若AM⊥BM,DE=8,∠N=15°,求BC的長.

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4.已知,點O在線段AB上,AB=6,OC為射線,且∠BOC=45°.動P以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā),沿射線OC做勻速運動.設(shè)運動時間為t 秒.

(1)如圖1,若AO=2.
①當(dāng) t=6秒時,則OP=6,S△ABP=9$\sqrt{2}$;
②當(dāng)△ABP與△PBO相似時,求t的值;
(2)如圖2,若點O為線段AB的中點,當(dāng)AP=AB時,過點A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求AQ•BP的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.已知:點A、B、C在同一直線上,若AB=12cm,BC=4cm,且滿足D、E分別是AB、BC的中點,則線段DE的長為4或8cm.

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