Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，設p=BC+CD，記四邊形ABCD的周長為L，面積為S．
（1）若已知p=6，BC•CD=8，求周長L的值．
（2）試探究出S與p之間的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，連結BD，
∵△BCD中，∠BCD=90°，p=BC+CD=6，BC•CD=8，
∴p²=BC²+CD²+2BC•CD=36，
∴BC²+CD²=36-16=20=BD²
又△ABD中，∠DAB=90°，AB=AD，
∴2AB²=BD²=20，
∴AB=AD=，
∴四邊形ABCD的周長L=，

（2）如圖，
∵p=BC+CD，又△BCD中，∠BCD=90°，
∴，
又∵AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
∴S_△ABD=AB•AD=AB²=BD²，
∴
分析：（1）連結BD，利用勾股定理求出AB和AD的長即可求出周長L的值．
（2）利用三角形的面積公式和等腰直角三角形的性質即可得到S與p之間的關系．
點評：本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是連接BD，構造直角三角形．