Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）連接PB，請(qǐng)?zhí)骄浚涸趻佄锞�上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

　

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得N在直線OM上，根據(jù)解方程組，可得答案；

（3）根據(jù)平行線間的距離相等，可得過P點(diǎn)平行BC的直線，根據(jù)解方程組，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)BC向下平移BC與l₁相距的單位，可得l₂，根據(jù)解方程組，可得答案．

【解答】解：（1）將A、B兩點(diǎn)代入解析式，得

，

解得．

故拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3

（2）存在點(diǎn)N使得|MN﹣ON|的值最大．過程如下：

如圖1：

作直線OM交拋物線于兩點(diǎn)，則兩交點(diǎn)即為N點(diǎn)，

y=﹣x²+2x+3的對(duì)稱軸為x=1．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入函數(shù)解析式，得

，解得，

BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即M（1，2）．

設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將M（1，2）代入函數(shù)解析式，得

k=2．

直線OM的解析式為y=2x．

聯(lián)立拋物線與直線OM的解析式，可得

解得：，

∴存在點(diǎn)N，其坐標(biāo)為N₁（，2），N₂（﹣，﹣2）

（3）如圖2：

，

由題意可得：P（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3

∵S_△QMB=S_△PMB，

∴點(diǎn)Q在過點(diǎn)P且平行于BC的直線l₁上，設(shè)其交點(diǎn)為Q₁；或在BC的下方且平行于BC的直線l₂上，設(shè)其交點(diǎn)為Q₂，Q₃，

∴設(shè)l₁的解析式為y=﹣x+b

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得：b=5

∴設(shè)l₁的解析式為y=﹣x+5

聯(lián)立得

解得：（不符合題意，舍），，

∴Q₁（2，3）．

根據(jù)對(duì)稱性可求得直線l₂的解析式為y=﹣x+1

聯(lián)立得

解得，

∴Q₂（，），Q₃（，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q共有3個(gè)，其坐標(biāo)分別為Q₁（2，3），Q₂（，），Q₃（，）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用同一條直線上兩線段的差最大得出N在直線OM上是解題關(guān)鍵；利用平行線間的距離相等得出Q在過P點(diǎn)平行于BC的直線上是解題關(guān)鍵，注意BC下方距的距離是BC與l₁相距的單位l₂上存在符合條件的點(diǎn)，以防遺漏．