Question

銳角△ABC中，BC=6，，兩動(dòng)點(diǎn)M,N分別在邊AB,AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y＞0)．

(1)求△ABC中邊BC上高AD；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；

(3)當(dāng)PQ在△ABC外部時(shí)（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)y最大，最大值是多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2）2.4（或）；（3）3，6.

【解析】

試題分析：（1）本題利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長(zhǎng)度．

（2）因?yàn)檎�方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒(méi)有改變，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，

（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長(zhǎng)，從而求出面積的表達(dá)式．

試題解析：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；

（2）當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時(shí)，

∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴,

即

解得，x=2.4（或）

∴當(dāng)x=2.4（或）時(shí)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上；

（3）設(shè)MP、NQ分別與BC相交于點(diǎn)E、F，

設(shè)HD=a，則AH=4-a，

由 ，

得，

解得，，

∵矩形MEFN的面積=MN×HD，

∴y=x（）= = （0＜x≤6）．

當(dāng)x=3時(shí)，y最大為6.

考點(diǎn): 1.二次函數(shù)綜合題；2.矩形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)．