如圖,拋物線y=ax2 + bx + c 交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求拋物線y= ax2 + bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面積比;
(3)在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)P點(diǎn),使△PAC的周長最小。
若存在,請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)你說明理由。
(1)∵拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點(diǎn),且對(duì)稱軸為直線x=1,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),∴可設(shè)拋物線的解析式為y= a(x+1)(x-3)
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,-3),∴ -3=a(0+1)(0-3)
∴a=1,∴所求拋物線的解析式為y=(x+1)(x-3),
即y=x2-2x-3
(2)依題意,得OA=1,OB=3,
∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶
OB·OC=OA∶OB=1∶3
(3)在拋物線y=x2-2x-3上,存在符合條件的點(diǎn)P 。
解法1:如圖,連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。
∵AC長為定值,∴要使△PAC的 周長最小,只需PA+PC最小。
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B(3,0),
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)
∴由幾何知識(shí)可知,PA+PC=PB+PC為最小。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3 ,將B(3,0)代入得 3k-3=0 ∴k=1。
∴y=x-3 ∴當(dāng)x=1時(shí),y=-2 .∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2)
解法2:如圖,連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。設(shè)直線x=1交x軸于D
∵AC長為定值,∴要使△PAC的 周長最小,只需PA+PC最小。
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B(3,0),
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)
∴由幾何知識(shí)可知,PA+PC=PB+PC為最小。
∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC �!�即
∴DP=2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2)
【解析】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式.
(2)由于兩三角形等高,那么面積比就等于底邊的比,據(jù)此求解即可.
(3)本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置,根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短,可找出C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),然后連接此點(diǎn)和A,那么這條直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn).可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
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