解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為A(1,5),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)
2+5,
將點(diǎn)B(5,1)代入,得a(5-1)
2+5=1,
解得a=-

,
∴y=-

x
2+

x+

;
(2)可以過y,x軸分別做A,B的對稱點(diǎn)A′,B′,然后連A′D,B′C,
顯然A′(-1,5),B′(5,-1),連接A′B′分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D兩點(diǎn),
∵DA=DA′,CB=CB′,
∴此時四邊形ABCD的周長最小,最小值就是A′B′+AB,
而A′B′=

=6

,
AB=

=4

,
∴A′B′+AB=10

,
四邊形ABCD的最小周長為10

;

(3)①點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′(5,-1),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(-1,5),連接A′B′,與x軸,y軸交于C,D點(diǎn),
∴CD的解析式為:y=-x+4,
聯(lián)立

,
得:

,
∵點(diǎn)P在y=x上,點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn),
∴要使等腰直角三角形與直線CD有公共點(diǎn),則2≤x≤4.
故x的取值范圍是:2≤x≤4.
②如圖:

點(diǎn)E(2,2),當(dāng)EP=EQ時,x-2=2-

x,得:x=

,
當(dāng)2≤x≤

時,S=

PR•RQ-

EP
2=

(x-

x)•(x-

x)-

•

(x-2)•

(x-2),
S=-

x
2+4x-4,
當(dāng)x=

時,S
最大=

.
當(dāng)

≤x≤4時,S=

EQ
2=

•

(2-

x)•

(2-

x),
S=

(x-4)
2,
當(dāng)x=

時,S
最大=

.
故S的最大值為:

.
分析:(1)可設(shè)頂點(diǎn)式,將頂點(diǎn)為A(1,5),點(diǎn)B(5,1)代入求出拋物線的解析式;
(2)可以過y,x軸分別做A,B的對稱點(diǎn)A′,B′,然后連A′D,B′C,當(dāng)這四點(diǎn)在同一直線時,周長最小,求出即可;
(3)作B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B′,A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)A′,連接A′B′,與x軸,y軸交于C、D點(diǎn),此時四邊形ABCD周長最小,求出CD的解析式,求出CD與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo),得到△PQR與直線y=x有公共點(diǎn)時x的取值范圍,以及公共部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
點(diǎn)評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,(1)利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式,(2)確定四邊形的周長,(3)根據(jù)對稱性求出CD的解析式,然后求出x的取值范圍和S與x的函數(shù)關(guān)系.